Para que valor de c, la recta y=x es tangente con la parábola y=x^2+C.
Ya encontré gráficamente que C=1/4, pero no se como justificarlo
2 Respuestas
Como las rectas se deben interceptar voy a sustituir el y=x en la ecuación de la parábola
$$\begin{align}&x=x^2+c\\&x^2-x+c=0\\&x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1-4c}}{2}\\&\\&\text{Al hacer la resolvente encuentras las intersecciones de la recta con la parabola, nota que si la raiz}\\&\text{es positiva, hay dos puntos de interseccion, si la raiz es negativa, no hay punto de interseccion }\\&\text{y si es cero; solo hay una interseccion. Lo que hay que hacer es ver cuando es cero}\\&1-4c=0\\&c=\frac{1}{4}\end{align}$$
La tangente o primera derivada de y=x es igual a 1 (es decir, tiene una inclinación de 45°).
Debemos encontrar los puntos en que:
a) x= x^2+ C;
b) f ' (x^2+C) = 1; es decir: que tiene igual tangente que y=x en ese punto.
Para b): 2x=1; x= 1/2;
Sustituyo en a): 1/2 = (1/4) + C; C= (1/2) - (1/4); C= 1/4.
Corroboro: el punto (1/2; 1/2):
Para la recta: 1/2 = 1/2; la tangente de esta recta (y=x), igual a su primera derivada, es 1 para todo valor de x.
Para la parábola: y = (1/2)^2 + 1/4; y=1/2; coincidente con el punto; además, si derivo:
y ' = 2x + 0; y ' = 2*(1/2); y ' = 1; haciendo iguales las tangentes de la recta y la parábola en el punto (1/2; 1/2).
Gracias Alejandro por tus muy buenas respuestas. Creo que tu razonamiento, si bien llega al resultado de c=1/4, no toma en cuenta la consigna: "es tangente con...", sino que razona la situación en que hay un solo punto en común recta-parábola. Creo que es muy valioso poder hacer este intercambio de ideas. - Norberto Pesce
El hecho que solo tenga un punto de intersección implica que es tangente (Porque hablamos de una curva y una recta) - Alejandro Salazar
La cuestión por la que tu método es mejor es que, casi nunca(o mejor dicho en la gran mayoria de los casos) sucede que una recta se interseque con una curva en un solo punto(si sucede, pues está bien asumir que la recta es tangente a la curva en ese punto). Ahora si no sucede, pues primero hay que aclarar unas cosas de tu procedimiento y es que no siempre hallas una recta tangente a la curva(ya me explico mejor), si no, a un punto de ella, es decir, la recta toca ese punto, pero no implica que la recta no vuelva a tocar a la curva nunca, lo único que aseguras es que en desplazamientos pequeños dx no vuelva a tocar la curva. - Alejandro Salazar
En este caso la curva es sencilla, una cónica,y mi procedimiento SIEMPRE va a ser válido, por lo que mencioné arriba. Si la curva es más "dificil", una de tercer grado por ejemplo, pues ya no nos sirve de nada, porque los puntos de intersección van a estar distribuido como sea (Aunque puede ser que solo se intersequen una vez, pero no va a suceder siempre), y la recta no va a ser "tan tangente"en la mayoria de los casos. Con tu procedimiento como mencioné arriba, no va a darte una recta que SIEMPRE SEA TANGENTE A LA CURVA, pero te va a dar la recta tangente a la curva en el punto que buscas - Alejandro Salazar
Gracias por tus aportes. - Norberto Pesce