Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje 𝑋 y que pasa por los puntos 𝑃(1,3) y 𝑄(4,6).
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje𝑋 y que pasa por los puntos𝑃(1,3) y𝑄(4,6).
En este caso no tenemos el centro y el radio:¿? ¿Verdad? ... Es que hay dos incógnitas, radio y k (el Y del centro) .. Y no tengo la menor idea de cómo proceder. Ayuda por favor, no sé como proceder ara hallar la respuesta. Muchas gracias! ..
Tal vez se parece a este ejercicio:
Solución: La forma buscada de la circunferencia es : ( x - a ) 2 + ( y - b )2 = r2 Pasa por O : ( 0 - a )2 + ( 0 - b )2 = r2 . Pasa por P : ( 2 - a )2 + ( -2 - b )2 = r2 Es tangente a y + 4 = 0 , luego la distancia del centro ( a, b ) a dicha recta es el radio: - b - 4 = r Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos: a1 = 8, b1 = 6 , r1= 10 ; a2 = 0 , b2 = -2, r2 = 2. Por consiguiente las circunferencias pedidas son : ( x - 8 )2 + ( y - 6 )2 = 100 ( x - 0 )2 + ( y + 2 )2 = 4 2 Por dos puntos pasan infinitas circunferencias. Halla una expresión que describa la familia de circunferencias que pasan por (1, 0) y (-1, 0). Solución: El centro está en la mediatriz de la cuerda definida por los puntos ( 1, 0 ) y ( -1, 0 ). Las coordenadas del centro son por tanto de la forma C ( 0, b ). Siendo el radio r = d ( ( 0, b ) , ( 1, 0 ) ) = 2 2 1 + b . La ecuación de una circunferencia es la de la forma x2 + ( y - b )2 = 1 + b2 , o bien x2 + y2 - 2by - 1 = 0. Variando b se obtienen las infinitas circunferencias pedidas.
1 Respuesta
Sabemos que el centro se encuentra en el eje x, por lo que va a tener las coordenadas (a, 0).
Lo que vamos a hacer es hallar la distancia del centro a cada uno de los puntos. Y como las distancias deben ser iguales, igualamos esas dos ecuaciones y de ahí obtendremos el valor de a. Luego despejaremos para hallar la distancia que seria el valor del radio, ya con eso tienes los datos para hacer la ecuación
$$\begin{align}&d=\sqrt{(a-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{(a-1)^2+9}\\&d=\sqrt{(a-4)^2+(0-6)^2}=\sqrt{(a-4)^2+36}\\&\\&\sqrt{(a-1)^2+9}=\sqrt{(a-4)^2+36}\\&a^2-2a+1+9=a^2-8a+16+36\\&6a=42\\&a=7\\&\\&d=\sqrt{(a-1)^2+9}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}\end{align}$$
