Calcular el dominio e imagen de la siguiente función

Voy a escribir el punto b) en función de los comentarios

$$\begin{align}&y = \frac{x}{|x|+1}\\&\text{Separamos en casos:}\\&x\ge0 \to\\&y = \frac{x}{x+1}\\&Rango: [0,1)\\&x<0\to\\&y = \frac{x}{-x+1}\\&Rango: (-1, 0]\\&\text{Por lo tanto tomando toda la función el rango es: }(-1,1)\\&\text{Como te dijo tu profesor}\\&\text{El problema es que en el planteo inicial, vos decís que la función es}\\&y=\frac{x}{|x|}+1 \text{ (y esta es la que Alejandro dice que el rango es :} \{{0;2\}})\end{align}$$

Para aclarar un poco más, te dejo las gráficas de la función que te dieron, y la que planteabas inicialmente:

Salu2

a) El dominio es todo los reales, la función valor absoluto no tiene ninguna restricción.

El rango pues, el valor más bajo que puede tener el valor absoluto es 0, y el más grande es infinito.

El rango es entonces (-infinito, 1)

b) Debido al denominador, el dominio es todos los reales excepto x=0,

Para el rango, debemos recordar que la función valor absoluto la podemos escribir como una función por partes tal que -x si x<0  y x si x >=0. Cuando estamos en el intervalo x<0  la división x/|x| nos queda x/-x =-1 , y esto +1 =0,  cuando estamos en el intervalo x>=0, nos queda 1+1=2 para cualquier valor de x. El rango de la función es entonces 0 y 2

Me quedo la duda en la primera ¿Cómo podría sacar el rango? ¿Con la función inversa se puede?