¿Muestre que el cambio de variables z = g (y) convierte la ecuación?

Para obtener una ED lineal de primer grado debemos lograr:  a' + f(a) = f(b)   

e^(y^2) * [y(dz/dx) + (1/x)] = 1/x^2

Si hacemos en este caso:  z=e^(y^2);  dz= z*2y*dy;  dy=dz/(2zy);

Remplazando:  2z* (( { y*dz/[dx(2zy)] } + (1/x)  )) = 1/x^2;  simplifico:

(dz/dx) + 2z/x = 1/x^2;  quedando una ED lineal de 1° grado.

Resolvemos:  µ= e^∫(2/x)*dx;

µ = e^2ln|x|;  µ= e^ln|x^2|;

µ  = x^2

z*µ = ∫ (µ/x^2)*dx;  reemplazo y simplifico:

z*x^2 = ∫ dx;  

z*x^2 = x + C;

z = (1/x) + (C/x^2);  como z=e^(y^2);  reemplazo:

e^(y^2)  = (1/x) + (C/x^2);  puedo despejar y:

y^2 = ln |(1/x) + (C/x^2) |;

y = (1/2)*ln |(1/x) + (C/x^2) |;  o: 

y = √ [ ln |(1/x) + (C/x^2) |]. 

También podrías ponerlo como:  y = √ [ ln | (x + C) /x^2 |] 

Al igual que Gustavo te recomiendo videos en Youtube: ED de Matefacil; o puedes descargar el libro de Becerril-Espinosa, con teoría y aplicaciones.

En el siguiente link, aproximadamente a los 51 minutos da un ejemplo de EDO lineal y resuelve un problema.

https://www.youtube.com/watch?v=MdKOjS8-oNw&list=FLxoLVBoHHjjUsyljQan1qNw

Igualmente si estás viendo ese tema te recomiendo que veas el video completo, ya que explica muy bien ese tema

Salu2