Si la siguiente Ecuación Diferencial es Exacta, si lo es resuélvala
(𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙) - 𝒙𝒚^𝟐)𝒅𝒙 + 𝒚(𝟏 - 𝒙^𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎
$$\begin{align}&(𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝒙𝒚^𝟐)𝒅𝒙 + 𝒚(𝟏 − 𝒙^𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎\end{align}$$
1 Respuesta
Está respondida ayer.
Es Exacta.
[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙) - 𝒙𝒚𝟐]𝒅𝒙 + 𝒚(𝟏 - 𝒙𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎; o:
[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙) - 𝒙𝒚𝟐]𝒅𝒙 + (y - y𝒙𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎;
[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙) - 𝒙𝒚𝟐]𝒅y = -2xy;
(y - y𝒙𝟐)𝒅x= -2xy; iguales valores, es Exacta.
el 4 ene.
Integro dx: ∫ [𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙) - 𝒙𝒚𝟐]𝒅x;
La primera por partes, cíclica: u=senx; du=cosx; v=senx; dv=cosx;
∫ senxcosx*dx = sen^2x - ∫ senxcosx*dx;
2 ∫ senxcosx*dx = sen^2x;
∫ senxcosx*dx = (1/2) sen^2x;
La segunda parte es directa: (-1/2) x^2y^2; queda:
(1/2) sen^2x - (1/2) x^2y^2 + f(y) = 0; recordar que C en este caso es f(y).
Derivo dy: -yx^2 + f ' (y) = 0.
Igualo: y - yx^2 = - yx^2 + f ' (y); Simplifico:
y = f ' (y); integro:
(1/2) y^2 + C= f(y); reemplazo en: (1/2) sen^2x - (1/2) x^2y^2 + f(y) = 0
(1/2) sen^2x - (1/2) x^2y^2 + (1/2)y^2 = C.
Este resultado puede simplificarse eliminando el 1/2 pero recordar agregarlo en la comprobación si se desea hacer. sen^2x - x^2y^2 + y^2 = C.
Puedo corroborar por derivación:
(senxcosx - y^2x) dx; es correcto;
(Y - x^2y) dy; también es correcto.
