Como puedo resolver este ejercicio de sucesiones 44,21,20, 8?

Ese planteo es absurdo, pero vamos a resolverlo.

a_1 = 44

a_2 = 21 = (n-1) (-23) + 44

a_3 = 20 = 11 (n-1)(n-2) + (n-1) (-23) + 44

a_4 = 8 = -5.5 (n-1)(n-2)(n-3) + 11 (n-1)(n-2) + (n-1) (-23) + 44

Si nos quedamos con los 4 valores que nos dieron, podríamos decir que la sucesión a_n es:

a_n = -5.5 (n-1)(n-2)(n-3) + 11 (n-1)(n-2) - 23 (n-1) + 44

Veamos si cumple lo que te dijeron a vos (que el próximo elemento es 4.

a_5 = -5.5 (5-1)(5-2)(5-3) + 11 (5-1)(5-2) -23 (5-1) + 44 =

-5.5 (4)(3)(2) + 11 (4)(3) -23 (4) + 44 =

-5.5 * 24 + 11 *12 - 23 * 4 + 44 =

-5.5 * 24 + 11 * 12 - 23 * 4 + 44 = -132 + 132 - 92 + 44 = -48

Claramente la sucesión que acabo de construir cumple que los primeros términos coinciden con los tuyos, pero el siguiente no y eso es parte del absurdo. Si queremos que el siguiente sea 4, vamos a 'forzar la sucesión para que pase esto del siguiente modo

a_5 = 4 =  13/6 (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)  -5.5 (n-1)(n-2)(n-3) + 11 (n-1)(n-2) + (n-1) (-23) + 44

y ahora sí, la sucesión 

a_n = 13/6 (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)  -5.5 (n-1)(n-2)(n-3) + 11 (n-1)(n-2) + (n-1) (-23) + 44

Que podemos escribir de manera 'simplificada' como:

$$\begin{align}&{{13\,n^4-163\,n^3+719\,n^2-1349\,n+1044}\over{6}}\end{align}$$

Te dejo un video que aclara el por qué de la primer frase AQUI