Necesito ayuda con un problema de álgebra
Buenos días, tengo que resolver el siguiente problema:
*Resuelva el siguiente problema aplicando el metodo de solucion de ecuaciones lineales 2x2 que mas le convenga:
-Si el largo de un rectángulo fuese 9cm más corto y el ancho fuese 6cm más largo, la figura seria un cuadrado con la misma área que el rectángulo. ¿Cuál sería el área del cuadrado?
a) 324 cm2
b) 320 cm2
c) 230 cm2
D) Ninguna de las anteriores.
Espero que por favor me pueda ayudar, Gracias.
*Resuelva el siguiente problema aplicando el metodo de solucion de ecuaciones lineales 2x2 que mas le convenga:
-Si el largo de un rectángulo fuese 9cm más corto y el ancho fuese 6cm más largo, la figura seria un cuadrado con la misma área que el rectángulo. ¿Cuál sería el área del cuadrado?
a) 324 cm2
b) 320 cm2
c) 230 cm2
D) Ninguna de las anteriores.
Espero que por favor me pueda ayudar, Gracias.
1 respuesta
Respuesta de retenllo
1
Veamos:
Llamamos por al largo del rectángulo
Llamamos y al ancho del rectángulo
Entonces su área será x*y=xy
Si el largo fuese 9 cm más corto (x-9) y el ancho fuese 6 cm más largo (y+6), la figura sería un cuadrado (es decir, el largo y el ancho serían iguales), luego ya tenemos la primera ecuación:
x-9=y+6
Además, sería un cuadrado CON LA MISMA ÁREA QUE EL RECTÁNGULO. El área del cuadrado es lado^2. Podemos utilizar cualquiera de lo dos lados (largo, ancho) del cuadrado, puesto que son iguales. Por tanto el área del cuadrado es (x-9)^2 (también podríamos haber utilizado que el área del cuadrado es (y+6)^2). Nos dicen que esta área es igual que la del rectángulo, que habíamos dicho que era xy, luego ya tenemos la segunda ecuación:
(x-9)^2=xy
Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
x-9=y+6
(x-9)^2=xy
Es un sistema no lineal, ya que la x y la y aparecen multiplicándose. Podemos intentar aplicar cualquiera de los 3 métodos que conocemos para los sistemas lineales. Por ejemplo sustitución.
Aíslo la y de la segunda ecuación:
y=[(x-9)^2]/x
(Para poder dividir por x no puede ser 0, pero como es una medida no lo es)
Sustituimos en la primera ecuación:
x-9=[(x-9)^2]/x+6
Vamos arreglando esta expresión poco a poco:
pasamos el 6 al primer miembro restando x-9-6=[(x-9)^2]/x
x-15=[(x-9)^2]/x
pasamos la x al primer miembro multiplicando x(x-15)=(x-9)^2
desarrollamos esta expresión, multiplicando en el primer miembro y aplicando el cuadrado de una diferencia en el segundo (identidad notable)
x^2-15x=x^2-18x+81
pasamos todo al primer miembro y "arreglamos" x^2-15x-x^2+18x-81=0
3x-81=0
aislamos x: 3x=81
x=81/3
x=27
Luego ya sabemos que el largo del rectángulo era 27 cm
Calculamos el ancho: y=[(27-9)^2]/27=(18^2)/27=324/27=12
Luego el ancho del rectángulo era 12 cm
Nos piden el área del cuadrado, pero sabemos que será la misma que la del rectángulo, luego A=27*12=324 cm^2.
La respuesta correcta es la a).
Llamamos por al largo del rectángulo
Llamamos y al ancho del rectángulo
Entonces su área será x*y=xy
Si el largo fuese 9 cm más corto (x-9) y el ancho fuese 6 cm más largo (y+6), la figura sería un cuadrado (es decir, el largo y el ancho serían iguales), luego ya tenemos la primera ecuación:
x-9=y+6
Además, sería un cuadrado CON LA MISMA ÁREA QUE EL RECTÁNGULO. El área del cuadrado es lado^2. Podemos utilizar cualquiera de lo dos lados (largo, ancho) del cuadrado, puesto que son iguales. Por tanto el área del cuadrado es (x-9)^2 (también podríamos haber utilizado que el área del cuadrado es (y+6)^2). Nos dicen que esta área es igual que la del rectángulo, que habíamos dicho que era xy, luego ya tenemos la segunda ecuación:
(x-9)^2=xy
Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
x-9=y+6
(x-9)^2=xy
Es un sistema no lineal, ya que la x y la y aparecen multiplicándose. Podemos intentar aplicar cualquiera de los 3 métodos que conocemos para los sistemas lineales. Por ejemplo sustitución.
Aíslo la y de la segunda ecuación:
y=[(x-9)^2]/x
(Para poder dividir por x no puede ser 0, pero como es una medida no lo es)
Sustituimos en la primera ecuación:
x-9=[(x-9)^2]/x+6
Vamos arreglando esta expresión poco a poco:
pasamos el 6 al primer miembro restando x-9-6=[(x-9)^2]/x
x-15=[(x-9)^2]/x
pasamos la x al primer miembro multiplicando x(x-15)=(x-9)^2
desarrollamos esta expresión, multiplicando en el primer miembro y aplicando el cuadrado de una diferencia en el segundo (identidad notable)
x^2-15x=x^2-18x+81
pasamos todo al primer miembro y "arreglamos" x^2-15x-x^2+18x-81=0
3x-81=0
aislamos x: 3x=81
x=81/3
x=27
Luego ya sabemos que el largo del rectángulo era 27 cm
Calculamos el ancho: y=[(27-9)^2]/27=(18^2)/27=324/27=12
Luego el ancho del rectángulo era 12 cm
Nos piden el área del cuadrado, pero sabemos que será la misma que la del rectángulo, luego A=27*12=324 cm^2.
La respuesta correcta es la a).
