Como podría realizar esta integral doble
Quisiera el ejercicio 35 par poder comprenderlo y entender un poco más de las integrales
1 Respuesta
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Hagamos el dibujo del dominio de integración, asi lo tendremos claro.
Es la pintada de amarillo. Vemos que en el eje x la figura comienza en x=0 y termina en x=pi, luego podemos tomar 0 y pi como límites de integración en x.
Y en el eje Y la figura está comprendida entre la recta azul y=(1/2)x y la recta roja y=2x
Luego esos dos son los límites de integración en y.
Y tenemos que integra la función senx en ese dominio. Luego está el dA, diferencial de area, que el diferencial de y por el de x.
$$\begin{align}&\iint_Rsen \,x\;dA=\\&\\&\int_0^{\pi}\int_{x/2}^{2x}sen\,x\;dy\,dx=\\&\\&\text{primero se integra respecto de y}\\&\text{luego senx es una constante}\\&\\&=\int_0^\pi senx·y|_{x/2}^{2x}dx=\\&\\&\int_0^\pi senx·\left(2x-\frac x2\right)dx=\\&\\&\frac 32\int_0^\pi x\,sen\,x\,dx=\\&\\&\text{se resuelva por partes}\\&\\&u=x\quad\quad\quad\quad du=dx\\&dv=sen\,x\,dx\quad v=-cosx\\&\\&=\frac 32\left(-x \cos x|_0^\pi+\int_0^\pi \cos x \;dx\right)\\&\\&\frac 32\left(-\pi(-1)+0·1-sen\,x|_0^\pi\right)=\\&\\&\frac 32(\pi+0-0+0)=\frac{3\pi}2\end{align}$$·
Y eso es todo.
podría también ayudarme con el ejercicio 37
Ya lo hice creo que por partida doble en otras preguntas, no olvides puntuarlas.
Me podrá ayudar, no entiendo porque en la gráfica y=2x y=(1/2)x no entiendo porque están en esa intentar
¿Qué significa la palabra "intentar"?
Son las rectas del ejercicio 35 las que marcan los límites superiores e inferiores del área de integración, por eso aparecen en la integral.
el pi lo entiendo porque vale 3.1416 en x pero y =2x como lo ubico en el cuadrante lo mismo para Y=(1/2) x no logro comprender como lo ubica en eje y
Creo que tienes una formación bastante floja. Una integral doble de una función se hace sobre un dominio o región, llámalo como quieras. Y para definir esa región suele necesitarse unos límites numéricos en la primera de las dos variables y una función de esa primera variable para la segunda variable. Entonces la regón de ese triángulo amarillo se define por los limites numéricos 0 y Pi en el eje X, mientras que en el eje Y no hay números fijos sino que dependiendo de la coordenada x la región tiene como límite inferior el valor x/2 y como valor superior 2x, por eso es una integral doble cuyos límites en x son 0 y pi y cuyos límites en y son x/2 y 2x.
Si lo que no entiendes es lo dibujar las rectas y=x/2 y y=2x creo que no deberías estar estudiando integrales dobles sin saber hacer eso.
También debes entender que esa gráfica no es la de la integral, ya que una integral doble de una función corresponde al volumen de un onjeto y tendría que ser una gráfica tridimensional. Lo que representa la gráfica es la base de ese objeto tridimensional.
Es que esto es lo más básico de las integrales dobles si no lo entiendes tendrás que estudiar la teoría.
