Francisco Javier!
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Son una recta y una parábola, ya sabemos que se cortan en 0, 1 o 2 puntos. Deberán cortarse en dos para que haya una región definida.
x+2=x^2+2
x=x^2
Y las dos respuestas son 0 y 1
Aunque puedes integrar la función que te de la gana menos la otra y luego tomar el valor absoluto del resultado es más elegante integrar de modo que te de el resultado positivo. Para ello la función minuendo debe ser la superior en el intervalo de integración. Co es parábola tiene forma de U la función superior de la regíón es la recta
$$\begin{align}&A=\int_0^1 \left(x+2-(x^2+2)\right)dx=\\&\\&\int_0^1(x-x^2)dx=\\&\\&\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac 13-0+0=\\&\\&\frac{3-2}{6}=\frac 16\end{align}$$
Y eso es todo.