Un cierto automóvil se deprecia de acuerdo con la fórmula , como planteo este problema?

a)

El ritmo de depreciación lo calcula la derivada:

$$\begin{align}&v'(t)=\frac{0-(0.4+0.2t)175000}{(1+0.4t+0.1t^2)^2}\\&\\&v'(1)=-46666.66\\&b)\\&v(0)=175000\\&\frac{175000}{2}=\frac{175000}{1+0.4t+0.1t^2}\\&\\&2=1+0.4t+0.1t^2\\&0.1t^2+0.4t-1=0\\&Ecuación \ 2º \ grado\\&t=1.7 \ años\end{align}$$

Fijate que tu expresión tiene dos incognitas. El tiempo "t" y otra "y". Supongo que en realidad las dos veces se trata de "t" y la expresión es

$$\begin{align}&v(t) = \frac{175000}{1+0.4t+0.1t^2}\\&\mbox{Donde para t=0, el denominador queda en 1 y el precio de compra es 175000}\\&a) t=1 \to\\&v(1) = \frac{175000}{1+0.4(1)+0.1(1)^2}=\frac{175000}{1.5}=116666.67 \mbox{   (corto en 2 decimales pues se supone que es dinero)}\\&\\&b) \mbox{Ya establecí que el precio de compra es 175000, luego la mitad de este monto es 87500}\\&87500 = \frac{175000}{1+0.4t+0.1t^2}\\&87500*({1+0.4t+0.1t^2}) -175000= 0\\&87500+35000t+8750t^2 -175000= 0\\&Reacomodando\\&8750t^2+35000t-87500= 0\\&\mbox{divido todo por 8750 para simplificar las cuentas}\\&t^2+4t-10= 0\\&\mbox{Resolviendo con la cuadrática}\\&t_1=1.7416 \land t_2=-5.7416\\&\mbox{El valor negativo no tiene sentido luego, la solución es 1,7416 años} \approx 1año, 8meses\ y\ 27días\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Omar!

·

El ritmo de depreciación es la velocidad de depreciación en el tiempo.

Supongo que V quiere decir Valor y t tiempo, entonces V es una función de t y el ritmo de depreciación es la derivada de V(t) respecto de t. Si no es eso ya me lo dirás. Aparte hay una "y" en el denominador que no sé si estará bien o tendría que ser una "t", yo voy a hacerlo cambiándola por t ya que de otra forma no habría respuestas numéricas

$$\begin{align}&V(t) =\frac{175000}{1+0.4t+0.1t^2}\\&\\&V'(t) = \frac{-175000(0.4+0.2t)}{(1+0.4t+0.1t^2)^2}\\&\\&RitmoDepreciación(1año)=V'(1) =\\&\\&\frac{-(175000)(0.4+0.2)}{(1+0.4+0.1)^2}= \frac{-175000·0.6}{1.5^2}=\\&\\&\frac{-105000}{2.25}= -46666.6666...\end{align}$$

Eso quiere decir que en ese momento se deprecia al ritmo de 46666.666 unidades monetarias cada año

·

b)

Hay que calcular el "t" que haga

V(t) = V(0) /2

Para ello calculamos primero V(0)

V(0) = 175000 / (1+0+0) = 175000

V(0) / 2 = 175000/2 =87500

Resolvemos la ecuación

$$\begin{align}&87500 = \frac{175000}{1+0.4t+0.1t^2}\\&\\&\text{Simplificamos ante de nada}\\&\\&1 = \frac 2{1+0.4t+0.1t^2}\\&\\&1+0.4t+0.1t^2= 2\\&\\&0.1t^2 +0.4t -1=0\\&\\&\text{voy a multiplicar por 10 y así todo entero}\\&\\&t^2 +4t -10 = 0\\&\\&t=\frac{-4\pm \sqrt{16+40}}{2}= -2\pm \sqrt{14}\\&\\&\text{La negativa no sirve obviamente}\\&\\&t=-2+\sqrt{14}\approx 1.741657 años\approx\\&\\&1año\; y\;271\; dias \end{align}$$