Ejercicio de continuidad y derivabilidad de una función
¿Cómo se hace el siguiente problema?
Sea a > b > 0. Determinar para qué valores de a y b la función f(x) definida por
{ x^(a+b) / x^a + x^b si x > 0
f(x) = {
{ x si x ≤ 0
es continua y derivable en x = 0
1 Respuesta
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Razvan!
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Creo que no has escrito bien la función, un numerador o denominador compuesto de operaciones debe ir entre paréntesis, si no es imposible saber hasta donde llega y la norma es que se toma la mínima longitud que puede tener, por lo tanto has escrito
$$\begin{align}&f(x)=\frac{x^{a+b}}{x^a}+x^b\\&\\&\text{Y creo que quieres decir}\\&\\&f(x)= \frac{x^{a+b}}{x^a+x^b}\end{align}$$Voy a considerarlo de esa forma.
Derivable implica continua, luego basta con demostrar que es derivable.
La derivada por a izquierda es la derivada de x, es 1
La derivada por la derecha es:
$$\begin{align}&f(x)=\frac{x^{a+b}}{x^a+x^b}\\&\\&f'(x)=\frac{(a+b)x^{a+b-1}(x^a+x^b)-x^{a+b}(ax^{a-1}+bx^{b-1})}{(x^a+x^b)^2}=\\&\\&\frac{(a+b)(x^{2a+b-1}+x^{a+2b-1})-ax^{2a+b-1}-bx^{a+2b-1}}{(x^a+x^b)^2}=\\&\\&\frac{ax^{2a+b-1}+ax^{a+2b-1}+ b x^{2a+b-1}+bx^{a+2b-1} -ax^{2a+b-1}-bx^{a+2b-1}}{(x^a+x^b)^2}=\\&\\&\frac{ax^{a+2b-1}+ b x^{2a+b-1}}{x^{2a}+x^{2b}+2x^{a+b}}=\\&\\&f'(0^+)=\frac 00\\&\\&\text{Dividimos todo por el exponente de menor grado}\\&\\&1)\quad Si \;a\gt 1\; es \;x^{2b} \text{ y quedaría}\\&\\&= \frac{ax^{a-1}+ b x^{2a-b-1}}{x^{2a-2b}+1+2x^{a-b}}\\&\\&\text{el menor grado del numerador es a-1}\\&\text{y deberá ser a-1=0 para que el numerador no valga 0}\\&\text{Luego a=1}\\&\\&2)\quad Si\;a=1 \; son\; x^{2b} \;y\; x^{a+2b-1} \text{ y quedaría}\\&\\&= \frac{a+ b x^{2a-b-1}}{x^{2a-2b}+1+2x^{a-b}}=a=1 \quad \text{ ¡BIEN!}\\&\\&3)\quad Si\; a\lt1\;es \;a+2b-1\text{ y quedaría}\\&\\&=\frac{a+ b x^{a-b}}{x^{a-2b+1}+x^{-a+1}+2x^{-b+1}}\\&\\&\text{el menor grado del denominador es -a+1}\\&\\&\text{y como debe ser 0 }\implies a=1\\&\\&\end{align}$$Luego solo habrá derivada por la derecha igual a 1 cuando a=1
Luego los valores son
a=1
b en (0, 1)
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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntme, se que el método que he usado puede ser un poco lioso y hay que tener muy claro el funcionamiento de la simplificación de funciones racionales para calcular límites 0/0, si se quiere entender.
