Calcular la probabilidad de un grupo...

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Es un problema que se puede calcular exactamente mediante una binomial B(100, 0.12) y la probabilidad sería la suma de las probabilidades de obtener 10, 11, 12, 13 y 14.

Con las calculadoras y más recientemente con los ordenadores esos cáculos no cuest much hacerlos. Pero antiguamente cuando no existían estos artilugios era una tarea muy pesada y usaban lo que se llama la aproximación de la binomial a una normal y lo resolvían consultando las tabla de una normal, una tabla que servía para casi todo.

Este problema seguramente hereda ese espíritu antiguo t lo que quieren es que calcules el valor dado por la aproximación a una normal.

Bueno, dada una B(n, p) con ciertas condiciones de que n sea mayor que 30, np>5 y n(p-1)>5 u otras condiciones parecidas según libro y autor, la B(n, p) se puede aproximar por una

$$\begin{align}&N(\mu,\sigma)\\&\\&donde\\&\\&\mu=np\\&\sigma=\sqrt{np(1-p)}\\&\\&B(100,0.12)\to N(12,\;3.249615362)\end{align}$$

ahora viene algo importante, saber si los extremos entran en el cálculo o no entran, por lo que yo entiendo el 10 y el 14 entran.

Entonces cuando un extremo entra lo que se hace es expandir en 0.5 el intervalo de forma que sea más grande, es decir, en lugar de calcular entre 10 y 14 calcularemos entre 9.5 y 14.5

Si un extremo no entra se hace al revés, se reduce el tamaño en 0.5, si no hubuieran entrado calcularíamos entre 10.5 y 13.5.

Y si entrara uno si y otro no por donde entra se aumenta la longituad del intervalo en 0.5 y por donde no entra se disminuye en 0.5

Luego debemos calcular

$$\begin{align}&P(10\le X\le14)\approx \\&\\&P(9.5\le N(12,3.249615362)\le14.5)=\\&\\&P\left(\frac{9.5-12}{3.249615362}\le Z \le \frac{14.5-12}{3.249615362}  \right)=\\&\\&P(-0.7693218186 \le Z\le 0.7693218186)=\\&\\&P(Z\le  0.769321818) - P(Z\le - 0.769321818)=\\&\\&P(Z\le  0.769321818)-(1- P(Z\le - 0.769321818))=\\&\\&2·P(Z\le - 0.769321818)-1=\end{align}$$

Y si ese día el antiguo estadístico no tenía muchas ganas de hacer interpolaciones, tomaba 0.77 y lo buscaba en la tabla

= 2 · 0.7794 - 1 = 0.5588

Y esa es aproximadamente la probabilidad que hay.

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Y eso es todo.