Usar la definición formal para hallar el límite. Límite y valor absoluto.
$$\begin{align}&\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{1+x^2} = 0\end{align}$$Usar la defnición formal de límite para verificar que el límite de dicha función es 0.
Parece muy obvio el resultado pero no sé cómo hacer el procedimiento para la demostración.
Se viene el examen y estoy con un lío tremendo.
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Respuesta de Lucas m
1
;)
Explicaciones teóricas en:
Definición de límite:
$$\begin{align}&\lim_{x \to a} f(x)=L \Leftrightarrow \forall \epsilon>0 \ \ \ \exists \delta\ \ \ /|x-a|< \delta==> |f(x)-L|< \epsilon\\&\\&Luego \ si \ \ |x-2|< \delta \\&\ hemos \ de \ buscar \ la \ relación \ entre \ \epsilon \ y \ \ \delta\\&\\&\Bigg|\frac{x-2}{1+x^2}-0\Bigg|< \ \epsilon\\&\\&\Bigg|\frac{x-2}{1+x^2}\Bigg|=|x-2|· \frac{1}{1+x^2}< \epsilon\\&\\&cojamos \ un \ delta \ cualquiera:\\&\delta=\frac 1 {10}==> |x-2|< \frac 1 {10} ==> - \frac 1 {10} < x-2 < \frac 1 {10}==>\\&\\&- \frac 1 {10} +2< x < \frac 1 {10} +2\\&\\&\frac {19} {10} < x < \frac {21} {10}==>\frac {19^2} {100} < x^2 < \frac {21^2} {100} ===>\\&\\& \frac {19^2} {100}+1 < x^2 +1 < \frac {21^2} {100} +1==>\\&\\& \frac {361} {100}< x^2 +1 < \frac {541} {100} ==>\\&\\&\frac{100}{361}> \frac 1 {x^2+1} >\frac{100}{541}\\&\\&\frac{100}{361} \ es \ una \ cota \ superior \ de \ \frac{1}{x^2+1}\\&\\&\\&\\&como\\& |x-2|< \delta\\&\\&|x-2|· \frac 1 {x^2+1}< \epsilon\\&\\&\delta· \frac{100}{361} < \epsilon ==> \delta< \frac{361}{100} \epsilon\\&\\&Luego \ para \ cualquier \ \epsilon , tomando \ \delta=min\{ \frac 1 {10}, \frac{361 \epsilon}{100} \}\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$se cumple la definición
Saludos
;)
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