Como resuelvo demuestro esta serie

Veamos la primera parte

$$\begin{align}&s_k=\sum\limits_{n=0}^{k}q^n\\&\\&s_k=q^0+q^1+q^2+\cdots+q^k \hspace{1cm}\text{(aquí $q^0$ tiene sentido si $q\neq0$)}\\&\\&s_k=1+q+q^2+\cdots+q^k\\&\\&s_k=1+q(1+q+q^2+\cdots+q^{k-1})\\&\\&s_k=1+q(s_k-q^k)\\&\\&s_k=1+q\cdot s_k-q^{k+1}\\&\\&s_k-q\cdot s_k=1-q^{k+1}\\&\\&s_k(1-q)=1-q^{k+1}\\&\\&s_k=\frac{1-q^{k+1}}{1-q} \hspace{1cm}\text{(aquí la división tiene sentido si $q\neq1$)}\\&\\&\text{Por tanto la fórmula de la suma tiene sentido cuando $q\notin$ {0,1}}\\&\text{y por supuesto si $k\geq 0$}\end{align}$$

Ahora veamos la siguiente parte

$$\begin{align}&s=\lim\limits_{k\to\infty}s_k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n\hspace{1cm}\text{(obviamente hasta aquí, tal como se dijo arriba $q\notin$ {0,1})}\\&\\&s=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1-q^{k+1}}{1-q}\\&\\&\bullet \text{ Si $q>1$ entonces $s\to +\infty$ es decir la serie infinta es divergente}\\&\bullet \text{ Si $-1< q<1$ entonces $s\to \dfrac{1}{1-q}$ }\\&\bullet \text{ Si $q\leq-1$ entonces $s$ no tiene límite}\\&\end{align}$$

                                                                                                                                                           FIN