¿Cómo se obtiene la utilidad máxima usando la segunda derivada?
- Una empresa tiene la siguiente función de utilidad, donde x representa el número de departamentos, determine cuantos departamentos deben de rentarse para maximizar la utilidad, especifique la utilidad máxima (criterio de la segunda derivada)
U= x^3/3-30x^2+800x+3333.34
Haciendo la primera derivada cero hallas los valores de x, que te dicen donde se encuentran los máximos o mínimos relativos. Con la segunda derivada lo que debes hacer es insertar esos valores de x, si el resultado es un número negativo, es un máximo. Si el resultado es un número positivo, es un mínimo
Me temo que de este tema no entiendo nada, ¿puedes poner el ejercicio paso a paso? gracias
Ok, no hay problema, asumo que conoces las derivadas básicas
$$\begin{align}&\text{tenemos } U(x)=\frac{x^3}{3}-30x^2+800x+3333.34\\&U'=x^2-60x+800\\&\text{Si igualamos la primera derivada a cero obtenemos los puntos criticos,}\\&\text{los valores de x que pueden ser maximos o minimos relativos (o absolutos)}\\&\text{Dicho de otra forma, una funcion puede crecer y bajar como sea.}\\&\text{Puedes pensar en los puntos criticos como los valores de x en donde la funcion tiene un pico}\\&\text{Como una montaña, la funcion crece y luego del punto critico empieza a bajar(en ese caso}\\&\text{es un maximo, lo contrario para los minimos)}\\&\text{NOTA QUE EN TU CASO NO ES DEL TODO IMPORTANTE:}\\&\text{En un principio son maximos o minimos relativos, que pueden ser absolutos si es que no existe}\\&\text{un valor de la funcion que esté mas arriba (o debajo en caso de los minimos). }\\&\\&x^2-60x+800=0\\&(x-20)(x-40)=0\\&x_1=20\\&x_2=40\\&\end{align}$$Estos dos valores son nuestros puntos criticos, pueden ser minimos o maximos pero no sabemos
Para eso utilizamos el criterio de la segunda derivada, y es que si calculamos la segunda derivada, y en los valores de x sustituimos los puntos críticos y vemos el signo sabremos si es un mínimo o máximo relativo
Si al sustituir el valor es <0 es porque es un maximo, y si al sustituir el valor es >0 es un mínimo
En este caso buscamos para cual de esos dos valores tendremos la segunda derivada <0. En el caso de que ambas nos den cero, comprobamos en la función original cual nos da el valor más alto
$$\begin{align}&U''(x)=2x-60\\&U''(20)=40-60=-20\\&\text{x=20 es un maximo}\\&U''(40)=80-60=20\\&\text{x=40 es un minimo}\end{align}$$Tenemos entonces que 20 es un maximo por lo que para obtener una utilidad maxima habria que comprar 20 departamentos, y para hallar la utilidad se sustituye en la funcion original. Y nos da 10000.01.
Lo que mencioné en la nota, que en un principio son máximos o mínimos relativos. Este es uno de esos casos, ES UN MÁXIMO RELATIVO, pero no es un máximo absoluto y es que si en la función insertas x=60 te da 15333.34 que es una utilidad mayor. Y preguntaras: Por que la primera derivada no lo lee; lo que sucede es que la función va a seguir creciendo sin parar. Inserta x=70,80,90. Veras que te dan valores más altos. Pero la primera derivada no lo lee, ya que en esos puntos la función pasa de crecer a bajar en esos puntos (Sigue creciendo y ya)
