Calculo integral longitud del arco de la parábola

Por definición, la longitud de una curva viene dado por

$$\begin{align}&\ell = \int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\end{align}$$

si tu funcion es y=y(x); con a y b los limites inferior y superior en x. La funcion en este caso es y=x^(3/2). En este caso nos quedamos con la raiz positiva ya que estamos en y positivos (entre 1 y 8). Calculando la derivada te queda la integral

$$\begin{align}&\ell = \int_1^4 \sqrt{1+9x^4}\,dx\end{align}$$

Simplemente haces el cambio de variable u = 1+9x^4 y te queda una integral directa