Tengo una inquietud con este problema de v.a continuas ya que sale una integral algo compleja

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Haremos la integral definida entre 0 e infinito y su valor debe ser 1. Pero como la integral no es sencilla que necesita dos pasos, de momento calcularemos la indefinida, que los límites molestan mucho en las integrales por partes.

$$\begin{align}&\int ax^2\,e^{-bx^2}dx=\\&\\&u=ax\qquad\qquad\quad du = a\;dx\\&dv=x\,e^{-bx^2}dx\qquad v=-\frac 1{2b}e^{-bx^2}\\&\\&=-\frac {a}{2b}x\,e^{-bx^2}+\frac a{2b}\int e^{-bx^2}dx=\\&\\&t=\sqrt {2b}\; x\implies bx^2=\frac {t^2}2\\&dt=\sqrt {2b}\; dx\\&\\&=-\frac a{2b \sqrt {2b}}te^{-\frac{t^2}2}+\frac{a}{2b \sqrt{2b}}\int e^{-\frac{t^2}2}dt =\\&\\&\frac{a}{2b \sqrt {2b}}\left(\int e^{-\frac{t^2}2}dt-te^{-\frac{t^2}2}  \right)\\&\\&\text{los límites para t son los mismos 0 e }\infty\\&\\&\text{Esa integral suena de una distribución N(0,1)}\\&\\&\text{sabemos que}\\&\\&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=1\implies \\&\\&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\frac 12\implies\\&\\&\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\\&\\&\text{Y evaluando la indefinida tendrá que valer 1}\\&\\&\frac{a}{2b \sqrt {2b}}\left[\int e^{-\frac{t^2}2}dt-te^{-\frac{t^2}2}  \right]_0^{\infty}=\\&\\&\frac{a}{2b \sqrt{2b}}·\left(\frac{\sqrt{2\pi}}{2}-0+0\right)=\frac{a}{4b}\sqrt{\frac{\pi}b}=1\implies\\&\\&a=4b· \sqrt{\frac b\pi}\end{align}$$

Y eso es todo, solo te dejo a ti que pongas el valor de b para obtener el valor exacto de a.  He comprobado que está bien para cualquier valor genérico de b, la integral da 1.

donde puedo encontrar esa integral de euler eso es lo que  no entiendo agradezco infinitamente su ayuda ...

Si buscas integrales Eulerianas mira a ver si es esto:

http://www.edutecne.utn.edu.ar/eulerianas/1%20-%20Funciones%20Eulerianas.pdf

Pero para mí que esta es una integral de Gauss, aqui tienes como se calcula una muy similar

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Gauss 

Pero yo no buscaba como calcularla, yo tomé directamente el resultado de aquí, porque como es una integral más que famosa es un resultado que se puede utilizar sin tener que demostrarlo cada vez que se use:

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal#Definici.C3.B3n_formal 

Lo que me costó un poco fue encontrar el cambio de variable para que quedara esa integral exactamente.

¡Gracias! Con esto ya estaré más ligado a y lograre entender fácilmente