Subespacios compactos mayor o igual que cero y menores que la raíz de 2!
Agradeciendo de antemano su apoyo con esta pregunta sobre Topología general!
¿Es compacto el subespacio de los números reales formado por los números racionales mayores o iguales a cero y (estrictamente) menores que la raíz cuadrada de 2?
1 Respuesta
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No no es compacto. Siempre que nos den un intervalo real abierto por uno de los extremos podemos hacer el mismo truco. Voy a llamar a = raíz de 2 para escribirlo de manera rápida y clara
Tomamos este cubrimiento
C ={(-1/2, 1/2), (0, a/2), (0, 3a/4), (0, 7a/8), (0, 15a/16), (0, 31a/32),....}
Es un cubrimiento porque la sucesión 2^(n-1)a/2^n tiende a a cuando n tiende a infinito, entonces dado cualquier número racional r menor que a=raíz de 2, hay un n tal que 2^(n-1)a/2^n > r.
Y no puedes tomar un recubrimiento finito ya que entonces habría un elemento (0, 2^(n-1)a/2^n) máximo y no estaría cubierto todo el intervalo [0, a) con lo cual al ser los racionales densos en R alguno quedaria en el trozo que queda descubierto.
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Y eso es todo.
