Como puedo sacar el área de la figura encerrada entre estas dos funciones

Nuevamente hagamos las gráficas para que nos ayude a deducir los puntos de corte

De esta imagen se pueden deducir algunas cosas:

1. Las 2 funciones se cortan para x=-3 y para x=3

2. La función g(x) es mayor a f(x) en ese intervalo

3. Las funciones son simétricas respecto al eje y (por lo tanto la integral se puede calcular entre -3 y 3 o como dos veces la integral entre 0 y 3).

Calculemos entonces

$$\begin{align}&\int_{-3}^{3}g(x) - f(x) \ dx = \int_{-3}^{3} \frac{x^2}{3}+6 -x^2 \ dx = \\&\int_{-3}^{3} \frac{-2x^2}{3}+6  \ dx = \\& \frac{-2x^3}{9}+6x  \Bigg |_{-3}^{3}= \bigg( \frac{-2(3)^3}{9}+6(3) \bigg)-\bigg( \frac{-2(-3)^3}{9}+6(-3) \bigg)=\\&\bigg( -6+ 18 \bigg)-\bigg(6 - 18 \bigg)=24\\&\mbox{Si querés podés calcular, la siguiente integral para que veas que da lo mismo}\\&2*\int_{0}^{3}g(x) - f(x) \ dx \end{align}$$

·

Yo soy más partidiario de intentar hacer estos problemas sin hacer la grafíca, bien es cierto que alguna vez es imprescindible usarla.

Tenemos dos polinomios de grado 2. Como mucho se cortarán en dos puntos. Luego si se cortan en dos puntos esos serán los extremos de integración y una función estará siempre por encima de la otra entre esos extremos, porque si no, habría tres o más cortes. Luego la integral será entre los puntos de corte. Para calcular el área no es necesario saber cual es la función superior e inferior, tu calculas el valor absoluto de la integral y esa es el área, no obstante da buena impresión si pones la superior sumando y la inferior restando y así sale la integral positiva. Para saber cal bastará evalar ambas funciones en un punto intermedio entre los cortes.

Luego resumiendo, no es necesario hacer la gráfica para calcular esta área.

Calculamos los puntos de corte:
x^2 = x^2 / 3 + 6

x^2 - x^2 / 3 = 6

2x^2 / 3 = 6

x^2 = 9

x=+-3

evaluamos en 0,

0^2 / 3 + 6 = 6

0^2 = 0

Luego la superior es x^2 / 3 + 6

Y el área es:

$$\begin{align}&A=\int_{-3}^3\left(\frac{x^2}{3}+6-x^2\right)dx=\int_{-3}^3\left(-\frac {2x^2}{3}+6\right)dx=\\&\\&\left[-\frac{2x^3}{9}+6x\right]_{-3}^3= -6+18-6+18=24\end{align}$$

Y eso es todo.