(Calculo Integral)¿Hallar la condición que satisfaga la condición dada? ¿Evaluar 2 integrales definidas?
Se me ha dejado un trabajo de calculo integral para resolverlo y aunque he entendido bien lo básico en clase y he desarrollado 20 de los 25 puntos necesito ayuda con los 3 últimos dados que tanto las integrales definidas como la pregunta de encontrar la función especifica no se me da y no he podido resolverlo
(Son los puntos 3,4,5, Como dije anteriormente las indefinidas se me dan mejor y puedo con los 1,2)
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO: Dada una función f(x), su función integral asociada F'(x) cumple necesariamente que:
A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
- Se busca primero una función F(x) que verifique que F'(x) = f (x).
- Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F(a) y F(b).
- El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:
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Esta es la forma de calcular cualquier integral definida, calculas la integral indefinida y luego evalúas los limites de integración
4) Este caso es elemental, como la función es impar, es decir
$$\begin{align}&f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\mathrm{:\:\:}\int _{-a}^af\left(x\right)dx=0\end{align}$$Se tiene que:
$$\begin{align}&\int _{-12}^{12}\:\left(x^7-3x^5+x^3-8x\right)dx=0\end{align}$$Podemos resolver paso a paso para que no quede duda.
Primero calculamos la integral indefinida
$$\begin{align}&\int \left(x^7-3x^5+x^3-8x\right)dx=\int \:x^7dx-\int \:3x^5dx+\int \:x^3dx-\int \:8xdx\end{align}$$Calculamos cada una de las integrales que salen de forma inmediata aplicando la regla de la suma
$$\begin{align}&\int \:x^7dx=\frac{x^8}{8}+C\end{align}$$$$\begin{align}&\int \:3x^5dx=\frac{x^6}{2}+C\end{align}$$$$\begin{align}&\int \:x^3dx=\frac{x^4}{4}+C\end{align}$$$$\begin{align}&\int \:8xdx=4x^2+C\end{align}$$Ahora tenemos que:
$$\begin{align}&\int \left(x^7-3x^5+x^3-8x\right)dx=\frac{x^8}{8}-\frac{x^6}{2}+\frac{x^4}{4}-4x^2+C \end{align}$$Una vez obtenido el resultado de la integral la evaluamos con los limites de integración aplicando el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO así:
$$\begin{align}&\int _{-12}^{12}\:\left(x^7-3x^5+x^3-8x\right)dx=[\frac{x^8}{8}-\frac{x^6}{2}+\frac{x^4}{4}-4x^2]_{-12}^{12}\end{align}$$$$\begin{align}&[\frac{x^8}{8}-\frac{x^6}{2}+\frac{x^4}{4}-4x^2]_{-12}^{12}=(\frac{12^8}{8}-\frac{12^6}{2}+\frac{12^4}{4}-4(12)^2)-(\frac{-12^8}{8}-\frac{-12^6}{2}+\frac{-12^4}{4}-4(-12)^2)\end{align}$$$$\begin{align}&(\frac{12^8}{8}-\frac{12^6}{2}+\frac{12^4}{4}-4(12)^2)-(\frac{-12^8}{8}-\frac{-12^6}{2}+\frac{-12^4}{4}-4(-12)^2)=0\end{align}$$Es algo largo pero bastante sencillo.XD
