Como verifico el siguiente problema de cálculo?

Eso no es necesariamente cierto, si tomamos x negativo la desigualdad no se cumple, ahora si x es mayor o igual a cero, podemos hacer lo siguiente

$$\begin{align}&f(x)=x - \arctan x\\&f'(x)=1- \frac{1}{1+x^2}\\&f'(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\\&\end{align}$$

Vemos que la derivada es siempre positiva, por lo que la función x-arctan x es creciente, y el valor mas pequeño entonces es cuando x=0 

$$\begin{align}&f(0)=0-arctan0\\&f(0)=0\end{align}$$

Vemos que el valor mas chico es cero, a partir de ahí al ser la función creciente, los valores van a ser cada vez mas grandes (y positivos), por lo que x debe ser mayor que arctan x (Si arctan x fuera mayor que x, la resta daría un numero negativo)

Muchas gracias por la respuesta

De esa forma justifico? Porque debería de llegar a esa igualdad inicial

Se me ocurren algunas otras formas de justificar, por ejemplo usando el polinomio de taylor de arctan x, el enunciado no dice algo más, o quizás darme un contexto, que estás viendo ahorita...

Me disculpo, justamente estoy dando los teoremas coml el de cauchy, lagrange, rolle...

Utilizando el de lagrange se puede?

No es necesario disculparse, no lo decía de mala manera (aunque leyendo como lo escribí si pareciera, así que me disculpo). Vale, teoremas de calculo diferencial. Si pienso que la forma en que lo hice está bien. Recordando que esa desigualdad se cumple para x>0 (es importante hacer esta aclaración)

Leyendo el teorema de lagrange (que sinceramente no lo recuerdo), no nos sirve de mucho, este teorema nos permite saber si existe un pto dentro de un intervalo en el que la derivada tenga la misma pendiente que la recta que pasa por los extremos del intervalo. De todas formas, me gustaría leer tu razonamiento del por qué piensas que podría ser útil (incluso si no está bien, lo importante es pensar y ver en donde fallamos)

Entiendo

Teniendo en cuenta la importancia de la igualdad x>0, ese sería nuestro intérvalo

Además, teniendo en cuenta que otro teorema por ejemplo tengo entendido que solo de sabe la continuidad en tal punto y si es derivable en tal punto, por eso solo me viene a la cabeza utilizar a propiedad de lagrange que es

f(b)-f(a)/ b-a

Para el teorema de lagrange necesitaríamos un intervalo cerrado, el x>0 nos da como intervalo (0, inf), digamos que tomamos en consideración el 0 como cerrado, con el infinito que seria el otro extremo no podemos hacer nada

Entiendo, ¿pero no se puede tomar como una incógnita el otro intervalo?

Llamando x o y