Encuentra la ecuación de la hipérbola que pasa por los vértices de la elipse

La ecuación de la elipse está en forma canónica, luego podemos conocer fácilmente el centro y los semiejes.

Si la ecuación canónica es

$$\frac{x-c}{a^2}+\frac{x-d}{b^2}=1$$

Entonces

El centro es (c, d)

El semieje X es a

El semieje Y es b

El eje longitudinal (el que tiene los focos y vértices) es el que tiene el semieje mayor

Entonces en esta

centro = (8, 3)

semieje en X = sqrt(9) = 3

semieje en Y = sqrt(4) = 2

El eje es paralelo al eje X. Luego el semieje mayor tomado como vector es (3, 0)

Y los vértices se obtienen sumando al centro el vector del semieje mayor y su inverso

v1 = (8, 3) + (3,0) = (11, 3)

v2 = (8, 3) + (-3, 0) = (5, 3)

Y dada una hipérbola de ecuaciones canónicas

$$\begin{align}&\frac{(x-c)^2}{a^2}-\frac{(y-d)^2}{b^2}=1\\ &\\ &\frac{(y-d)^2}{a^2}-\frac{(x-c)^2}{b^2}=1\end{align}$$

la primera cuando el eje longitudinal es paralelo al eje X, la segunda cuando lo es a Y, entonces, las asíntotas respectivas son.

$$\begin{align}&y=d\pm \frac ba(x-c)\\ &\\ &y=d\pm \frac ab (x-c)\end{align}$$

Pongamos las asíntotas que nos dan en esa misma forma

4x-3y-23=0 ==> y = (4/3)x - (23/3)

4x+3y+41=0 ==> y = -(4/3)x + (41/3)

igualamos la expresión del término libre con el valor que tiene

d - (4/3)c = -23/3

d + (4/3)c = 41/3

restando la primera a la segunda

(8/3)c = 64/3

c= (64/3)(3/8) = 8

d+(4/3)8 = 41/3

d+32/3= 41/3

d = 9/3 = 3

Luego el centro es (8,3)

Y también se deduce de la ecuación de las asíntotas que

a/b = 4/3

a = 4b/3

Con todo esto la ecuación de la hipérbola será

$$\frac{(x-8)^2}{\left(\frac{4b}{3}\right)^2}-\frac{(y-3)^2}{b^2}=1$$

Y para calcular b vamos a hacer que la hipérbola pase por un vértice de la elipse, el (11,3) por ejemplo

$$\begin{align}&\frac{(11-8)^2}{\left(\frac{4b}{3}\right)^2}-\frac{(3-3)^2}{b^2}=1\\ &\\ &\frac{9}{\frac{16b^2}{9}}=1\\ &\\ &16b^2=81\\ &\\ &4b=9\\ &\\ &b=\frac 94\\ &\\ &\end{align}$$

Entonces la ecuación es:

$$\begin{align}&\frac{(x-8)^2}{\left(\frac 43· \frac 94\right)^2}-\frac{(y-3)^2}{\left( \frac 94\right)^2}=1\\ &\\ &\\ &\frac{(x-8)^2}{3^2}-\frac{(y-3)^2}{\left( \frac 94\right)^2}=1\\ &\\ &\end{align}$$

Y esa es la ecuación canónica de la hipérbola que nos piden.

Y eso es todo, el ejercicio ya ha sido suficientemente amplio y hacer la gráfica no es moco de pavo. Si quieres que la haga, puntúa esta y mándame otra pregunta para la gráfica.